课程

编码

07012200013

理论

学时数

88

实践

学时数

0

适用

专业

信息与计算科学

先修课程

高等代数 Ⅰ

开设课程学院

理学院

课程

类别

£通识课程  □专业基础  ☑专业（☑必修  □限选  □任选） □实践环节

课程目标1

1.专业知识：具有扎实的数学基础，掌握科学计算与计算机技术的基础知识和基本方法，并具备分析实际问题和处理数据的能力。

掌握二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间、双线性函数等知识，具备熟练的运算技能和技巧，为进一步学习其它课程打下坚实的基础。

课程目标2

2.问题分析：能够将数学和计算机语言的基础知识和基本方法应用到各个相关领域，特别是复杂数据工程的分析、建模和算法设计。

具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力，能够综合运用数学知识解决实际问题。

课程目标3

5.现代工具：能够针对实际问题，使用恰当的技术和专业软件，设计和开发新技术或新方案，并将新技术用于预测和模拟。

具有一定的数据处理能力和创新能力。

第一部分 二次型

5.1二次型及其矩阵表示

5.2标准形

5.3唯一性

5.4正定二次型

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1.掌握二次型、非退化线性替换、矩阵的合同、实二次型的惯性指数、正定二次型和正定矩阵等基本概念；

2.能用非退化线性替换将二次型化成标准形；

3.能求出复数域上二次型的规范形；

4.能求出实二次型的规范形及惯性指数；

5.掌握实二次型的正定性的判定；

6.理解通过对二次型进行变换，将不同的形式统一到一个规范型，通过问题简单化来分析问题的本质。

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教学方法：

讲授法、案例法、讨论法、练习法等

学生任务：

1.学习相关知识理论；

2.完成作业与练习；

3.查阅资料，通过解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题，了解正定二次型的理论起源。

第二部分 线性空间

6.1集合·映射

6.2线性空间的定义与简单性质

6.3 维数·基与坐标

6.4 基变换与坐标变换

6.5线性子空间

6.6 子空间的交与和

6.7子空间的直和

6.8 线性空间的同构

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1. 掌握线性空间的概念与简单性质；

2. 理解线性空间中向量的线性组合、线性相关、线性无关等概念，掌握有限维线性空间的基与维数的概念及求法；

3. 掌握线性空间中向量坐标的概念，基变换及坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质；

4. 理解和掌握线性空间及子空间的概念和判别方法；

5. 掌握子空间的交与和的定义及性质，掌握维数公式，理解子空间的直和的概念以及和为直和的充要条件；

6. 理解线性空间同构的概念与性质，掌握有限维线性空间同构的充要条件；

7. 理解线性空间公理化方法，掌握抽象总结的方法。 通过小组讨论，培养学生集体荣誉感和团队协作精神。

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教学方法：

讲授法、案例法、讨论法、练习法等

学生任务：

1.学习相关知识理论；

2.完成作业与练习；

3.查阅资料，了解线性空间在自然科学和工程技术等领域的应用。

第三部分

线性变换

7.1线性变换的定义

7.2 线性变换的运算

7.3线性变换的矩阵

7.4特征值与特征向量

7.5对角矩阵

7.6线性变换的值域与核

7.7不变子空间

7.8若尔当（Jordan）标准形介绍

7.9最小多项式

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1. 理解线性变换的概念；

2. 理解线性变换的矩阵表示、矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质；

3. 掌握有限维线性空间的线性变换以及矩阵的特征值，特征向量的概念与求法；

4. 掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理；

5. 掌握有限维线性空间的线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件；

6. 掌握线性变换的值域、核的概念与性质；

7. 理解不变子空间的概念及其在线性变换化简中的作用；

8. 了解若尔当形矩阵的概念以及任意复方阵都相似于一个若尔当形矩阵；了解矩阵的最小多项式的概念；

9. 了解线性变换和线性变换的矩阵表示在其他领域的应用，体会数学知识的作用及魅力。

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教学方法：

讲授法、案例法、讨论法、练习法等

学生任务：

1.学习相关知识理论；

2.完成作业与练习；

3.查阅资料，了解线性变换和线性变换的矩阵表示在计算机图形、信号传递上的应用。

第四部分

λ-矩阵

8.1 λ-矩阵

8.2 λ-矩阵在初等变换下的标准形

8.3 不变因子

8.4 矩阵相似的条件

8.5 初等因子

8.6 若尔当（Jordan）标准形的理论推导

8.7 矩阵的有理标准形

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1. 理解λ-矩阵的概念，掌握λ-矩阵在初等变换下的标准形；2. 会计算λ-矩阵的不变因子；

3. 掌握两个数字方阵相似的充要条件；

4. 理解矩阵的初等因子的概念以及若尔当标准形；

5. 了解矩阵的有理标准形；

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教学方法：

讲授法、案例法、讨论法、练习法等

学生任务：

1.学习相关知识理论；

2.完成作业与练习；

3.学习若尔当（Jordan）标准形的理论推导。

第五部分

欧几里得空间

9.1定义与基本性质

9.2 标准正交基

9.3同构

9.4正交变换

9.5子空间

9.6实对称矩阵的标准形

9.7向量到子空间的距离·最小二乘法

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1.理解欧氏空间的定义及性质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质；

2. 掌握欧氏空间中正交基、标准正交基的概念，掌握施密特正交化；

3.理解欧氏空间同构的定义，掌握两个有限维欧氏空间同构与其维数之间的关系；

4.能判定一个线性变换是否是正交变换；

5. 理解两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系；

6.掌握实对称矩阵的相似合同对角化的理论与方法；

7. 了解最小二乘法；

8. 理解欧几里得空间的概念，掌握特殊到一般的研究方法，提升科学素养。

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教学方法：

讲授法、案例法、讨论法、练习法等

学生任务：

1.学习相关知识理论；

2.完成作业与练习；

3.查阅资料，了解酉空间。

第六部分

双线性函数与辛空间

10.1 线性函数

10.2 对偶空间

10.3 双线性函数

10.4 辛空间

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1. 理解线性函数的概念；

2. 了解对偶空间以及双线性函数的概念。

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教学方法：

讲授法、案例法、讨论法、练习法等

学生任务：

1.学习相关知识理论；

2.完成作业与练习；

3.查阅资料，了解辛空间。