课程

编码

0701320003

理论

学时数

32

实践

学时数

16

适用

专业

信息与计算科学

先修课程

数学分析、高等代数、常微分方程

开设课程学院

理学院

课程

类别

£通识课程  £专业基础   R专业（R必修 □限选  □任选）  □实践环节

课程目标1

2.问题分析：能够将数学和计算机语言的基础知识和基本方法应用到各个相关领域，特别是复杂数据工程的分析、建模和算法设计。

掌握数值分析的基本概念和基本方法，具备基本的算法分析、设计能力。

课程目标2

3.设计/开发解决方案：能够运用所学的数学方法和计算机技术解决大数据领域内的建模、数值计算、数据分析、数据处理等方面的实际问题，能够在数据处理中运用新型计算理论，并考虑社会、法律、安全、文化以及环境等因素。

有能力对实际问题具有联想、洞察能力、综合分析问题能力，进而能够利用MATLAB数学软件表述数值分析问题。

课程目标3

4.研究：能够基于数学理论并采用科学方法对大数据相关问题进行研究，包括数学建模、分析与解释数据、并通过科学计算得到合理有效的结论。

能够利用各类数值计算方法对具体的问题进行建模，并设计有效算法，最终对大数据问题给出有效的方法，提升学以致用的能力。

第一部分

数值分析与科学计算引论

1.1 数值分析的对象、作用与特点

1.2 数值计算的误差

1.3 误差定性分析与避免误差危害

1.4 数值计算中算法设计的技术

支撑课程目标1

基本要求：

1. 掌握近似数的绝对误差、相对误差和有效数字的基本概念;

2. 理解算法的数值稳定性问题，以及误差在近似数运算中的传播；

3. 了解中国古代数学的光辉成就，增强立民族自豪感与自信心。

4

教学方法：讲授法+案例分析法+练习法+讨论+网络课程线上视频自主学习

学生任务：

1. 作业要求：

掌握并会计算近似数的绝对误差、相对误差和有效数字。

2. 自学要求：

了解数值分析对工程、科学技术、日常生活等的重要意义。

3. 讨论：

数值计算中算法的好坏。

第二部分

插值法

2.1 引言

2.2 拉格朗日插值

2.3 均差与牛顿插值多项式

2.4埃尔米特插值

2.5分段低次插值

支撑课程目标1、2

基本要求：

1. 掌握代数多项式插值的存在唯一性与误差估计;

2. 掌握Lagrange插值与Newton插值多项式;

3. 理解和掌握埃尔米特插值、分段线性插值与分段三次埃尔米特插值的基本原理及及各自的优缺点；

4.查阅插值法的发展历史，了解相应科学家的贡献与局限，树立不畏艰难，追求真理的科学精神。

6

教学方法：讲授法+案例分析法+练习法+讨论+网络课程线上视频自主学习

学生任务：

1. 作业要求：

掌握多项式插值的误差估计公式及它的导出；掌握构造插值多项式的Lagrange插值法及Newton插值方法；掌握埃尔米特插值、分段线性插值与分段三次埃尔米特插值的基本原理

2. 自学要求：

三次样条函数插值实习。

3. 讨论：

插值方法的实现，验证Runge现象。

第三部分

函数逼近与快速傅里叶变换

3.1 函数逼近的基本概念

3.2 正交多项式

3.3 最佳平方逼近

3.4 曲线拟合的最小二乘法

支撑课程目标1、2

基本要求：

1. 了解最佳一致逼近多项式的存在、唯一性及特征定理；

2. 掌握内积空间最佳逼近问题及最佳平方逼近多项式的计算；

3. 掌握切比雪夫多项式的性质及其应用；

4. 掌握离散数据拟合的最小二乘方法；

5. 通过函数逼近算法的学习和实践培养精益求精的“工匠精神”，提升专业自信和职业素养。

8

教学方法：讲授法+案例分析法+练习法+讨论

学生任务：

1. 作业要求：

掌握最佳一致逼近（低次）多项式和最佳平方逼近多项式的计算；会应用切比雪夫多项式；会使用最小二乘法做离散点的曲线拟合。

2. 自学要求：

实现求解近似最佳一致逼近的多项式的Remes算法。

3. 讨论：

数值拟合的最小二乘法。

第四部分

数值积分

4.1 数值积分概论

4.2 牛顿-柯特斯公式

4.3 复合求积公式

4.4 龙贝格求积公式

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1. 掌握内插型求积公式的构造以及数值积分公式的代数精度；

2. 了解外推法的思想和它在构造高精度数值求积公式中的应用；

3. 通过查阅数值积分的相关文献，提升科学素养。

6

教学方法：讲授法+案例分析法+练习法+讨论+网络课程线上视频自主学习

学生任务：

1. 作业要求：

掌握复合求积公式和龙贝格求积方法。

2. 自学要求：

理解数值微分公式构造的基本方法。

3. 讨论：

实现复化梯形公式和复化Simpson公式算法。

第五部分

非线性方程与方程组的数值解法

5.1 方程求根与二分法

5.2 不动点迭代法及其收敛性

5.3 迭代收敛的加速方法

5.4 牛顿法

支撑课程目标1、2、3

基本要求：

1. 掌握简单迭代法收敛性及迭代法收敛快慢的标志-迭代法收敛阶；

2. 掌握Newton迭代法的计算格式、几何意义以及收敛阶；

3. 通过各类迭代法的学习，强调严谨求实的科学态度。启发引导学生运用辩证的观点看待问题、分析问题，在认识事物的时候，既要看到事物相互区别的一面，又要看到事物相互联系的一面。

8

教学方法：讲授法+案例分析法+练习法+讨论+网络课程线上视频自主学习

学生任务：

1. 作业要求：

掌握简单迭代法的收敛性和收敛速度；掌握Newton迭代法的计算格式。

2. 自学要求：

弦截法和抛物线法。

3. 讨论：

非线性方程组的牛顿迭代法。

1

插值方法的实现，验证Runge现象

支撑课程目标1、2

基本要求：

1. 理解并掌握Lagrange插值的数值算法，能够根据给定的函数值表求出插值多项式和函数在某一点的近似值；
2. 对于两类不同的样条要求给出统一的算法，能够用此计算出函数在指定点的近似值；
3. 对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。

4

验证型

1

教学方法：讲授法+练习法+讨论

学生任务：

1. 拉格朗日插值实验，拉格朗日方法直接计算插值多项式，观察龙格（Runge）现象；
2. 三次样条函数插值实习。

2

数值拟合的最小二乘法

支撑课程目标1、2

基本要求：

1. 掌握用最小二乘法进行曲线拟合；
2. 掌握绘制出曲线拟合图；
3. 给出各种算法的设计程序和计算结果。

4

综合型

1

教学方法：讲授法+练习法+讨论

学生任务：

1. 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线；
2. 观测数据拟合曲线，绘制散点图，根据趋势线，选择合适的拟合曲线。

3

数值积分的程序设计

支撑课程目1、2

基本要求：

1. 掌握编制数值积分算法的程序；
2. 了解分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果，了解其不同；
3. 给定精度要求 ，试用变步长算法，确定最佳步长调整和标注。

4

综合型

1

教学方法：讲授法+练习法+讨论

学生任务：

1. 低阶Newton-Cotes公式求定积分，观察随区间个数 n 变化时误差的下降情况；
2. 选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法误差的变化情况。

4

一元非线性方程求根

支撑课程目1、2

基本要求：

1. 掌握二分法的循环结构；

2. 掌握Newton迭代法的循环结构；

3. 能分析并了解迭代收敛和发散的原因。

4

综合型

1

教学方法：讲授法+练习法+讨论

学生任务：

1. 编制程序实现二分法；
2. 编制程序实现Newton迭代法。