《数学分析Ⅲ》课程教学大纲
一、课程信息及课程简介
（一）课程信息
课程英文 名称 | Mathematical Analysis Ⅲ | 学分 | 5 | 总学时 | 80 |
课程 编码 | 0701220003 | 理论 学时数 | 80 | 实践 学时数 | 0 |
适用 专业 | 信息与计算科学 | 先修课程 | 数学分析I，数学分析II |
开设课程学院 | 理学院 |
课程 类别 | □通识课程 ■专业基础 □专业（□必修 □限选 □任选） □实践环节 |
（二）课程简介
《数学分析》 是信息与计算科学专业最重要的基础课之一,也是该专业学时最长的专业课程,这门课不仅是信息与计算科学专业各门后续课程的基础，而且也担负着培养学生的抽象思维能力，正确运用“数学语言”，顺利完成从初等数学到高等数学的过渡，为今后更进一步的学习打下基础的重要任务。《数学分析》课程强调学生现代数学思想和方法的掌握，以及数学应用能力的培养，为学生后续课程的学习和解决实际问题奠定坚实的数学基础；逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力，创新思维能力、熟练的运算能力和自学能力，从而提高学生的数学素质，培养学生创造性、应用数学知识和技术来分析、解决实际问题的能力。
二、课程目标
（一）具体目标
通过学习本课程，学习者应：
课程目标1： 掌握数学分析的基本概念，熟悉数学分析中的论证方法，获得熟练的演算技能和初步应用的能力。
课程目标2： 提高逻辑推理能力，抽象概括能力和创新能力，具有建立数学模型的能力以及综合运用数学知识去分析和解决问题的能力。
课程目标3： 发展自主学习能力，形成良好的学习习惯，树立善于思考、敢于质疑、严谨求实的科学精神。
（二）课程目标与毕业要求的关系
课程目标 | 支撑的毕业要求 |
课程目标1 | 要求1. 专业知识： 具有扎实的数学基础，掌握科学计算与计算机技术的基础知识和基本方法，并具备分析实际问题和处理数据的能力。 |
课程目标1 | 要求2. 问题分析： 能够将数学和计算机语言的基础知识和基本方法应用到各个相关领域，特别是复杂数据工程的分析、建模和算法设计。 |
课程目标1 | 要求5. 现代工具： 能够针对实际问题，使用恰当的技术和专业软件，设计和开发新技术或新方案，并将新技术用于预测和模拟。 |
课程目标2 |
课程目标3 |
三、课程教学内容对课程目标的支撑
（一）理论教学安排
章节或知识模块 | 教学内容 | 支撑课程目标及基本要求 | 学时 分配 | 教学方法与学生任务 |
第一部分 多元函数的极限与连续 | 16.1 平面点集与多元函数 16.2 二元函数的极限 16.3 二元函数的连续性
|
支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 了解平面点集的基本概念，理解平面上Cauchy收敛准则，区域套定理，聚点定理和有限覆盖定理。 2. 掌握二元函数的极限，累次极限的概念及相互关系。 3.熟练掌握连续性概念，掌握连续函数的性质及应用。 4.培养学生善于思考、敢于质疑、严谨求实的科学精神 | 10 | 教学方法： 课堂讲授，启发式教学、讨论式教学。 学生任务： 作业：掌握多元函数的概念及连续性；熟练掌握多元函数的极限及其连续性。
自学：总结一元函数极限与多元函数极限的区别，理解累次极限。
|
第二部分 多元函数微分学 |
17.1 可微性 17.2 复合函数微分法 17.3方向导数和梯度 17.4 泰勒公式和极值问题
| 支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 掌握偏导数，可微，全微分，方向导数，梯度，高阶偏导数，高阶全微分的概念及其运算。 2.熟练掌握可微、存在偏导数及连续之间的关系。 3.了解偏导数及全微分的几何意义,了解一阶全微分形式不变性并会用此性质求偏导数。 4.了解多元函数的泰勒公式和中值定理。 5.掌握多元函数极值和最大、最小值的概念，掌握求极值的必要条件与充分条件以及极值的应用。 6.通过研究可微性与连续性的关系，揭示其中的辩证思维因素，帮助学生树立，形成辩证唯物主义世界观和方法论。 |
14 | 教学方法： 课堂讲授，启发式教学，学生自学。 学生任务： 作业：会求多元函数偏导数、极值，方向导数与梯度。会用泰勒公式解决问题。掌握复合函数的求导。
自学：总结泰勒公式的用法。 |
第三部分 隐函数定理及其应用 | 18.1 隐函数 18.2 隐函数组 18.3 几何应用 18.4 条件极值
|
支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 正确理解隐函数（组）存在定理。 2. 掌握隐函数（组），反函数（组）求导法则，了解坐标变换原理。 3. 掌握空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的计算方法。 4.掌握条件极值的概念和求条件极值的Lagrange乘数法以及条件极值的应用。 5.通过学习条件极值，引导学生将所学知识用于实际生活中，激发学生学习数学的兴趣。
| 10 | 教学方法： 引导式教学，激励式教学，小组讨论。
学生任务： 作业：会计算隐函数的偏导数；理解隐函数的存在定理；会求解条件极值问题。
自学：总结求条件极值的方法。 讨论：用Lagrange乘数法求解的值是极大值或极小值。 |
第四部分 含参量积分 | 19.1 含参量正常积分 19.2 含参量反常积分 19.3 欧拉积分
|
支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 正确理解含参量正常积分的可微性与可积性，并会用于定积分的计算。 2. 理解含参量反常积分的概念，掌握它与函数项级数之间的关系及相应性。 3. 掌握含参变量反常积分的一致收敛性概念及其M判别法，了解一致收敛的Dirichlet 判别法和Abel 判别法。 4. 能用含参变量反常积分的分析性质处理一些简单问题。 5.了解Γ函数和Β函数的性质及两者之间的关系。 6.通过小组协作讨论，培养学生集体荣誉感和团队协作精神。 | 12 | 教学方法： 引导式教学，激励式教学，学生讨论，自学。
学生任务： 作业：理解含参量正常积分、含参量反常积分；会求解含参量正常积分，能够判断含参变量反常积分的收敛性以及一致收敛性。
自学：总结含参量反常积分的收敛性与级数的收敛性之间的联系。 |
第五部分 曲线积分 | 20.1 第一型曲线积分 20.2 第二型曲线积分 |
支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 理解两类曲线积分概念并了解它们之间的关系。 2.掌握两类曲线积分的性质与计算方法。 3.通过学习曲线积分，培养学生刻苦钻研的精神。
| 8 | 教学方法： 课堂讲授，启发式教学，学生自学。
学生任务： 作业：熟练计算两类曲线积分。
自学：总结两类曲线积分的区别与联系。 |
第六部分 重积分 |
21.1二重积分概念 21.2 直角坐标系下二重积分的计算 21.3 格林公式·曲线积分与路线的无关性 21.4 二重积分的变量变换 21.5三重积分 21.6 重积分的应用
| 支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 正确理解二重积分与三重积分的定义，掌握重积分可积条件和基本性质。 2. 熟练掌握化重积分为累次积分的方法和重积分的变量变换公式，特别是极坐标变换公式、柱坐标变换公式、球坐标变换公式。 3. 能正确利用重积分计算立体体积和曲面面积以及物理学中的质量、重心、转动惯量，引力等。 4. 掌握曲线积分与路线无关的条件和格林公式。 5. 通过关于“二重积分和格林公式”这些知识点的作业练习，训练培养学生刻苦钻研的精神和诚信的品质。 | 14 | 教学方法： 课堂讲授，启发式教学。
学生任务： 作业：会计算二重积分，三重积分；能够应用重积分求解立体体积和曲面面积以及物理学中的质量、重心等；掌握格林公式应用条件，并能用格林公式求解重积分。
自学：二重积分，三重积分在实际生活中的应用。
|
第七部分 曲面积分 | 22.1 第一型曲面积分 22.2 第二型曲面积分 22.3高斯公式与斯托克斯公式
|
支持课程目标：1、2、3
基本要求： 1. 理解两类曲面积分的概念并了解它们的关系。 2. 理解并掌握两类曲面积分的性质与计算方法。 3. 熟练掌握高斯公式和斯托克斯公式。 4.简单了解场论中的基本概念，包括梯度，通量与散度，环量与旋度及管量场与势量场等。 5.曲面积分中的图形可以陶冶人的美感，帮助学生认识数学美，欣赏数学的美学价值。 | 12 | 教学方法： 引导式教学，激励式教学，学生讨论。 学生任务： 作业：会求解两类曲面积分，掌握高斯公式和斯托克斯公式的应用条件，并能用它们求解重积分。
自学：分析比较格林公式，高斯公式和斯托克斯公式，得到更一般的公式。
|
四、考核方式及成绩评定
（一）考核方式
课程考核方式分为过程考核和期末考核。过程考核方式包括课程作业、课内外学习表现和阶段性测验。期末考核采用闭卷考试的方式。
（二）成绩评定
1.总成绩评定
总成绩 = 过程考核成绩*50% + 期末考核成绩*50%
2.过程考核成绩评定
过程考核成绩(100%)= 课程作业(30%)+ 课内外学习表现(30%)+ 阶段性测验(40%)
成绩评定方式:
（1）课程作业：围绕课程的学习目标进行作业的设计，考核学生对于概念的理解情况，以及学生对于知识点的掌握、应用情况。
（2）课内外学习表现：通过学生在课内外学习表现情况、发言与提问情况，来评价学生相关的能力。
（3）阶段性测验：由任课教师组织课堂测验或布置课程报告，考察学生对已学知识的掌握情况。
3.期末考核成绩评定
期末考核主要考察学生对基本概念、相关理论和具体方法的理解与运用等；方式为闭卷考试；要求学生掌握基本概念、相关理论，运用具体方法解决相关问题。
（三）课程目标达成的考核评价方式
课程目标 | 考核评价方式 |
过程考核 | 期末考核 |
课程作业 | 课内外学习表现 | 阶段性测验 |
课程目标1 | √ |
|
| √ |
课程目标2 |
|
| √ | √ |
课程目标3 |
| √ |
|
|
（四）课程目标达成的考核评价标准
课程目标 | 考核评价标准 |
高于预期 | 达到预期 | 低于预期 |
优秀 | 良好 | 合格 | 不合格 |
课程目标1 | 课程作业：对概念和知识点理解完全正确，解题过程书写工整，无错。 | 课程作业：对概念和知识点理解基本正确，解题过程基本无错。 | 课程作业：对概念和知识点理解有一些错误，解题过程有一些错误。 | 课程作业：对概念和知识点理解错误较多，解题过程有大量错误。 |
期末考核：对基本概念、相关理论的理解与应用完全正确或比较正确，基本无误，卷面成绩达到优秀。 | 期末考核：对基本概念、相关理论的理解与应用较为正确，错误较少，卷面成绩达到良好。 | 期末考核：对基本概念、 相关理论的理解与应用存在较多问题，有一些错误，卷面成绩合格。 | 期末考核：对基本概念、 相关理论的理解与应用存在大量错误，卷面成绩不合格。 |
课程目标2 | 阶段性测验：对概念、理论和研究方法的理解和运用完全正确。 | 阶段性测验：对概念、理论和研究方法的理解和运用基本正确。 | 阶段性测验：对概念、理论和研究方法的理解和运用有一些错误。 | 阶段性测验：对概念、理论和研究方法的理解和运用有大量错误。 |
期末考核：对问题进行分析、建模和研究的过程完全正确或比较正确，基本无误，卷面成绩达到优秀。 | 期末考核：对问题进行分析、建模和研究的过程比较正确，错误较少，卷面成绩达到良好。 | 期末考核：对问题进行分析、 建模和研究的过程存在较多问题，有一些错误，卷面成绩合格。 | 期末考核：对问题进行分析、 建模和研究的过程存在大量错误，卷面成绩不合格。 |
课程目标3 | 课内外学习表现：能按时出勤，能认真完成教师布置的各项学习任务，课外自主学习积极认真。 | 课内外学习表现：能按时出勤，能认真完成教师布置的大部分学习任务，学习态度比较积极认真。 | 课内外学习表现：能基本按时出勤，能完成教师布置的大部分学习任务，学习态度一般。 | 课内外学习表现：存在较多旷课情况，不能完成教师布置的大部分学习任务，学习态度敷衍消极。 |
五、课程反馈
学生可在学习过程以及学习结束后，根据课程的学习情况及时从任课教师处获得学习反馈，以便改进学习。任课教师主动进行过程反馈，在过程中根据学生学习情况，调整优化教学内容和方法，使学生达成课程目标。
六、课程评价与改进
课程考核结束后，任课教师应遵循学院教学工作委员会通过的课程达成评价机制和评价方法，对本课程的课程目标达成进行评价，出具课程达成评价报告，并报学院教学督导委员会审核。教师根据评价结果，撰写授课总结和改进计划，完善课程目标及考核方式，改进教学方法，优化教学内容，以便更好地支撑毕业要求的达成。
七、教材及主要参考书目
教学资源：
[1] 陈纪修,复旦大学,http://math.fudan.edu.cn/math_anal/.
[2] 高等教育出版社在线课程建设与应用中心http://hep.icourses.cn/.
[3] 国家级精品视频公开课http://c.snnu.net/c/116001/index.
教材：华东师范大学数学科学学院,数学分析,高等教育出版社,第五版.
参考书目：
[1] 陈纪修,於崇华,金路等,数学分析,等教育出版社,第三版.
[2] 费定晖, 周学圣,吉米多维奇数学分析习题集题解,山东科学技术出版社,2015.
[3] 梅加强,数学分析,高等教育出版社,第二版.
[4] 欧阳光中,朱学炎,金福临,陈传璋,数学分析,高等教育出版社,第四版.
[5] W.Rudin,数学分析原理,机械工业出版社,2019.
制订人： 杜姗姗、戴绍虞、钱欣洁 （修订日期： 2023 年 7 月）
审订人： 林洪伟、李德浩 （审订日期： 2023 年 7 月）
